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第2問

平面上の少なくとも2点からなる有限集合 SS を考え、SS のどの3点も同一直線上にないとする。風車とは、ただ一点 P∈SP\in S を通る直線から始まる過程である。直線は軸 PP を中心に時計回りに回転し、SS に属する他の点に初めて出会うまで回転を続ける。この点 QQ が新しい軸となり、直線は今度は QQ を中心に時計回りに回転し、次に SS の点に出会うまで続く。この過程は永遠に続く。SS の中から点 PP と、PP を通る直線をうまく選べば、得られる風車が SS のすべての点を無限回軸として使うことを示せ。
ステップ 1/6: 向き・通常直線・釣り合い直線を設定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

各直線に左右を定め、S の二点が同じ向きを共有するときだけその向きを悪いと呼び、残りをできるだけ均等に分ける一点通過直線を探す。

⌊n−12⌋\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor
詳しい解説

SS の点を頂点と呼び n=∣S∣n=|S| とする。すべての直線に確定した右側があるよう向きを与える。ある向きの直線が二頂点を通ることがないとき、その向きを通常と呼び、向きが通常である直線を通常直線と呼ぶ。SS のどの三頂点も同一直線上にないので、通常でない向き（頂点対を結ぶ線分の向き）は有限個しかない。ちょうど一つの頂点を通り、残りの頂点のうちちょうど ⌊n−12⌋\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor 個が右側にある直線を釣り合い直線と呼ぶ。