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第2問

n≥2n\ge2 を整数とする。n2n^2 個の単位正方形からなる n×nn\times n のチェス盤を考える。この盤上の nn 個のルークの配置が平和的であるとは、どの行にもどの列にもちょうど1個のルークがあることをいう。nn 個のルークのどの平和的な配置に対しても、その k2k^2 個の単位正方形のいずれにもルークが置かれていない k×kk\times k の正方形が存在するような、最大の正の整数 kk を求めよ。
ステップ 5/5: 結論
前のステップ次のステップ
k=⌊n−1⌋=max⁡{ℓ:ℓ2<n}k = \left\lfloor \sqrt{n-1} \right\rfloor = \max\{\ell : \ell^2 < n\}
詳しい解説

2つの部分を合わせると、ℓ\ell がすべての平和的な配置に対して有効であるのはちょうど ℓ2<n\ell^2<n のときであり、ℓ2≥n\ell^2\ge n のときは保証されない。そのような ℓ\ell の最大値は ℓ2<n\ell^2<n、すなわち ℓ2≤n−1\ell^2\le n-1 を満たす最大の整数であり、それは ℓ=⌊n−1⌋\ell=\lfloor\sqrt{n-1}\rfloor である。これが求める kk の値である。