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第1問

Z\mathbb{Z} を整数全体の集合とする。すべての整数 aa、bb に対して f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)). を満たす関数 f ⁣:Z→Zf\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} をすべて求めよ。
ステップ 1/7: 主張に名前を付ける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

方程式に名前を付けておくと、具体的な代入を簡潔に参照できる。

P(a,b): f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))P(a,b):\ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))
詳しい解説

整数 a、b に対する主張 f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b)) を P(a, b) と呼ぶことにする。まず、恒等的に 0 である関数 f と、固定された整数 c に対する f(x) = 2x + c がともにこの方程式を満たすことに注意し、P からますます多くの構造を引き出すことで、これらが唯一の解であることを示す。