MathLabs

第4問

k!=(2n−1)(2n−2)(2n−4)⋯(2n−2n−1).k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}). を満たす正の整数の組 (k,n)(k,n) をすべて求めよ。
ステップ 5/6: 残る n=1,2,3,4,5 を調べる
前のステップ次のステップ
L3=168,L4=20160,L5=9999360,5!<L3<6!,7!<L4<8!,10!<L5<11!L_3=168,\qquad L_4=20160,\qquad L_5=9999360,\qquad 5!<L_3<6!,\quad 7!<L_4<8!,\quad 10!<L_5<11!
詳しい解説

残るのは n=1,2,3,4,5n=1,2,3,4,5 の確認である。最初の二つはステップ1で扱った。残りについて、L3=168L_3=168 は 5!5! と 6!6! の間に厳密にあり、L4=20160L_4=20160 は 7!7! と 8!8! の間に厳密にあり、L5=9999360L_5=9999360 は 10!10! と 11!11! の間に厳密にある。階乗は狭義単調増加なので、これら三つの積はいずれも階乗ではない。