第5問

Bath 銀行は片面が、もう片面がの硬貨を発行している。Harry はこの硬貨を枚、左から右へ一列に並べる。を示す硬貨がちょうど枚なら、左から枚目の硬貨を裏返す、という操作を繰り返す。それ以外、すなわち全てがのとき停止する。例えばでから始めるととなり、3 回の操作で停止する。(a) 初期配置ごとに Harry が有限回で停止することを示せ。(b) 初期配置に対し停止までの操作回数をとする。全ての個の初期配置にわたるの平均値を求めよ。

H

T

n

k>0

H

k

T

n=3

THT

THT\to HHT\to HTT\to TTT

C

L(C)

L(C)

2^n

ステップ 1/6: 期待値を定める

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

停止性と平均を同時に示す。

E_n=\mathbb E[L(C)]

詳しい解説

枚に対する操作回数の平均をとする。に関する帰納法を用いる。では配置の操作回数はそれぞれなので停止し、である。 $E_n$ $n$ $n$ $n=1$ $T$ $H$ $0$ $1$ $E_1=\frac12$