第5問

Bath 銀行は片面が、もう片面がの硬貨を発行している。Harry はこの硬貨を枚、左から右へ一列に並べる。を示す硬貨がちょうど枚なら、左から枚目の硬貨を裏返す、という操作を繰り返す。それ以外、すなわち全てがのとき停止する。例えばでから始めるととなり、3 回の操作で停止する。(a) 初期配置ごとに Harry が有限回で停止することを示せ。(b) 初期配置に対し停止までの操作回数をとする。全ての個の初期配置にわたるの平均値を求めよ。

H

T

n

k>0

H

k

T

n=3

THT

THT\to HHT\to HTT\to TTT

C

L(C)

L(C)

2^n

ステップ 4/6: 全てから停止する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

全てのは右から左へ裏返される。

E_{n-1}+n

詳しい解説

変換後の過程は枚の過程と操作回数の分布が同じなので停止し、全てに至るまでの平均はである。全てがの状態からは、元の規則で硬貨の順に裏返され、全てになるまでちょうど回かかる。従って最後がの場合の平均はであり、これも停止する。 $(n-1)$ $E_{n-1}$ $n,n-1,\ldots,1$ $n$ $E_{n-1}+n$