第5問

Bath 銀行は片面が、もう片面がの硬貨を発行している。Harry はこの硬貨を枚、左から右へ一列に並べる。を示す硬貨がちょうど枚なら、左から枚目の硬貨を裏返す、という操作を繰り返す。それ以外、すなわち全てがのとき停止する。例えばでから始めるととなり、3 回の操作で停止する。(a) 初期配置ごとに Harry が有限回で停止することを示せ。(b) 初期配置に対し停止までの操作回数をとする。全ての個の初期配置にわたるの平均値を求めよ。

H

T

n

k>0

H

k

T

n=3

THT

THT\to HHT\to HTT\to TTT

C

L(C)

L(C)

2^n

ステップ 6/6: 漸化式を解く

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

1 枚から枚までの増分を足し合わせる。

E_n=\sum_{j=1}^{n}\frac j2=\frac{n(n+1)}4

詳しい解説

（または基底の場合）から漸化式を繰り返すととなる。これが求める平均であり、帰納法は全ての初期配置が有限回で停止することも同時に示している。 $E_0=0$ $E_n=\sum_{j=1}^{n}\frac j2=\frac{n(n+1)}4$