第5問

n>1

枚のカードからなる束が与えられている。各カードには正の整数が一つ書かれている。この束は次の性質を持つ：任意の2枚のカードの数の相加平均は、1枚以上のカードからなるある集合の数の相乗平均でもある。どのような

n

に対して、カード上の数がすべて等しいことが導かれるか。

ステップ 3/8: 最大公約数で正規化する

ざっくり言うと

拡大縮小は仮定も結論も変えない。

d=\gcd(a_1,\ldots,a_n),\qquad b_i=\frac{a_i}{d}

詳しい解説

各カードを $d$ で割っても、相加平均と相乗平均がともに $d$ 倍の規則で変わらないので性質は保たれる。 $\gcd(a_1,\ldots,a_n)=1$ と仮定してよい。ステップ2より、すべてのカードは奇数である。