MathLabs

第4問

x1,x2,…,x2023x_1,x_2,\ldots,x_{2023} を互いに異なる正の実数とし、すべての n=1,2,…,2023n=1,2,\ldots,2023 に対して an=(x1+x2+⋯+xn)(1x1+1x2+⋯+1xn)a_n=(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right) が整数であるとする。このとき a2023≥3034a_{2023}\ge3034 であることを証明せよ。
ステップ 2/3: 3項のコーシー・シュワルツの段階
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

an+2a_{n+2} を定義する和を最初の n 項と新しい2項に分け、対応する3つの組にコーシー・シュワルツ不等式を適用すると、ana_n と新しい2変数の比から作られる下界が得られる。

an+2≥(an+u+1u)2≥an+u+1u,u=xn+1xn+2a_{n+2}\ge\left(\sqrt{a_n}+u+\dfrac1u\right)^2\ge a_n+u+\dfrac1u,\qquad u=\sqrt{\dfrac{x_{n+1}}{x_{n+2}}}
詳しい解説

A=x1+⋯+xnA=x_1+\cdots+x_n、B=1x1+⋯+1xnB=\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n} とおくと an=ABa_n=AB となる。三項のコーシー・シュワルツ不等式により an+2=(A+xn+1+xn+2)(B+1xn+1+1xn+2)≥AB+xn+1xn+2+xn+2xn+1=an+u+1u\sqrt{a_{n+2}}=\sqrt{(A+x_{n+1}+x_{n+2})\left(B+\frac1{x_{n+1}}+\frac1{x_{n+2}}\right)}\ge\sqrt{AB}+\sqrt{\frac{x_{n+1}}{x_{n+2}}}+\sqrt{\frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}}=\sqrt{a_n}+u+\frac1u を得る。ここで u=xn+1/xn+2u=\sqrt{x_{n+1}/x_{n+2}} である。両辺を二乗すれば an+2≥(an+u+1/u)2≥an+u+1/ua_{n+2}\ge(\sqrt{a_n}+u+1/u)^2\ge a_n+u+1/u となる。