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第4問

内心 II を持つ三角形 ABCABC は AB<AC<BCAB<AC<BC を満たすとする。直線 BCBC 上の点 XX（CC とは異なる）を、XX を通り ACAC に平行な直線が内接円に接するように取る。同様に、直線 BCBC 上の点 YY（BB とは異なる）を、YY を通り ABAB に平行な直線が内接円に接するように取る。直線 AIAI は三角形 ABCABC の外接円と再び点 PP で交わる。KK、LL をそれぞれ ACAC、ABAB の中点とする。∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL+\angle YPX=180^\circ であることを証明せよ。
ステップ 1/4: 相似変換がK、I、LをC、T、Bに移す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

点Aを中心とする比2の相似変換は、線分の中点をその遠い端点に送るので、LをBに、KをCに、そしてI（Aとその対称点Tの中点）をT自身に送り、角KILをそのまま角BTCに変える。

∠KIL=∠BTC,T=2I−A\angle KIL=\angle BTC,\qquad T=2I-A
詳しい解説

TT を AA の II に関する対称点とする、すなわち T=2I−AT=2I-A である。中心 AA、比 22 の相似変換は LL（ABAB の中点）を BB に、KK（ACAC の中点）を CC に送り、II を 2I−A=T2I-A=T に送る。相似変換は角度を保つので、∠KIL=∠CTB=∠BTC\angle KIL=\angle CTB=\angle BTC である。