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第2問

ABCABC を三角形とし、点 MM と NN をそれぞれ辺 ABAB と ACAC の中点とする。点 KK と LL をそれぞれ三角形 BMCBMC と BNCBNC の真に内部にとり、KK が三角形 ABLABL の真に内部にあり、LL が三角形 AKCAKC の真に内部にあるようにする。∠KBA=∠ACL\angle KBA=\angle ACL、∠LBK=∠LNC\angle LBK=\angle LNC、∠LCK=∠BMK\angle LCK=\angle BMK が成り立つとする。OO を三角形 AKLAKL の外心とする。OM=ONOM=ON を証明せよ。
ステップ 2/4: 2つ目の交点 B' と C' は AY と AX を二等分する
前のステップ次のステップ
AC′⋅AC=AY⋅AM=AX⋅AN=AX⋅12AC ⟹ AC′=12AX,AB′=12AYAC'\cdot AC=AY\cdot AM=AX\cdot AN=AX\cdot\tfrac12AC\ \Longrightarrow\ AC'=\tfrac12AX,\quad AB'=\tfrac12AY
詳しい解説

実直線 XKXK と XCXC(これは ACAC そのもの) はすでに ωC\omega_C 上の点を含むので、それぞれ ωC\omega_C ともう1点で実交差する。その点を K′K'、C′C' とする(接する場合は重複度を込めて数える)。ωB\omega_B 上の L′,B′L',B' は対称に定める。有向積を使うと、点 AA を通る ωC\omega_C の割線は ACAC 上の端点 C,C′C,C' と AYAY 上の端点 Y,MY,M を持つ。従って AA から ωC\omega_C および円 MYXNMYXN; Y,M,C′,CY,M,C',C は直前の割線計算の端点への方べきは AC′⋅AC=AY⋅AM=AX⋅ANAC'\cdot AC=AY\cdot AM=AX\cdot AN を与える。NN は ACAC の中点なので AN=12ACAN=\tfrac12AC。0でない有向長さ ACAC を約すれば AC′=12AXAC'=\tfrac12AX、従って C′C' は AXAX の中点である。対称な議論により B′B' は AYAY の中点となる。