解法: 隔たりを埋める:三項ゴールドバッハ予想、無条件に(ヘルフゴット、2013年)

1937年のヴィノグラードフの証明は、次のステップに現れる重み付き表示個数 $R(n)$ が十分大きなすべての奇数 $n$ について正であることを示したが、「十分に大きい」の水準は議論から計算できなかった。メジャーアーク上の評価はディリクレ $L$ 関数 $L(s,\chi)$ の例外的な実零点の可能性を許容しなければならず、ジーゲルの定理はそのような零点を $s = 1$ から非有効な定数でしか遠ざけない。閾値を有効化し、さらに小さくするまでには数十年を要した。ボロズディンが初めて計算可能だが天文学的な上界を与え、ヘルフゴット以前の最良の結果である Liu と Wang(2002年)の結果は $n > e^{3100} \approx 10^{1346}$ を要求した。これが表示式にある $10^{1300}$ 規模の定数である。

この規模の閾値では数え上げが永久に不可能であるため、ヘルフゴットのプログラム(プレプリント arXiv:1205.5252、1305.2897、1305.3062、およびそれらをまとめた arXiv:1312.7748)は最初から定量的であった。円周法全体を、すべての暗黙の定数を明示的で適度な大きさのものに置き換えてやり直し、「解析的に証明される範囲」と「数値的に検証される範囲」の境目を $10^{1346}$ ではなく $10^{27}$–$10^{30}$ のあたりに持ってくるのである。次の各ステップに一つずつ対応する三つの要素がこの改善を可能にする。$L(s,\chi)$ の零点に関する計算データに基づく完全に明示的なメジャーアーク漸近評価、追加の対数因子を失わないマイナーアーク上の $S(\alpha)$ の評価、そして解析的閾値を大きく上回るように設計された数値検証である。

したがって証明は、重なり合うように設計された二つの半分からなる。解析的機構はすべての奇数 $n \ge 10^{27}$ をカバーし、別の計算が $5 < n \le 10^{27}$ を十分な余裕をもってカバーしなければならない。この二つが実際に余裕をもって接続することが最後のステップの内容である。