Math Labs

Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, nêu năm 1882

Tính vô tỉ của e + π và e·π

Còn mở

Hai số thực e+πe + \pi và eπe\pi có phải là các số vô tỉ hay không? Tổng quát hơn, ee và π\pi có độc lập đại số trên Q\mathbb{Q} hay không?

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, vẫn chưa biết e+πe + \pi hay eπe\pi có phải là số vô tỉ hay không. Dù Nesterenko (1996) đã chứng minh tính độc lập đại số của π\pi và eπe^\pi nhờ khai thác hệ phương trình vi phân của chuỗi Eisenstein tại điểm nhân phức τ=i\tau = i, hằng số e=e1e = e^1 lại ứng với giá trị hàm mũ tại 11 chứ không phải bội hữu tỉ của πi\pi i, nên phương pháp hàm môđun không bắt được đồng thời cả ee lẫn π\pi. Trong khi đó, định lý Lindemann–Weierstrass và định lý Baker xử lý giá trị của eze^z tại điểm đại số zz, còn iπi\pi lại là số siêu việt.

Kết quả tốt nhất đã biết

  • Hệ thức đa thức đối xứng sơ cấp: vì ee và π\pi là nghiệm của x2−(e+π)x+eπ=0x^2 - (e+\pi)x + e\pi = 0 và đều là số siêu việt, ít nhất một trong hai số e+πe + \pi và eπe\pi là số siêu việt.
  • Nesterenko (1996): π\pi và eπe^\pi độc lập đại số trên Q\mathbb{Q} (do đó π+eπ\pi + e^\pi và πeπ\pi e^\pi là các số siêu việt).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụĐạt đượcChỗ dừng
Định lý Lindemann–Weierstrass và dạng tuyến tính của logaritChứng minh tính siêu việt của ee (e1e^1 là số siêu việt) và của π\pi (eiπ=−1e^{i\pi} = -1 là số đại số nên iπi\pi là số siêu việt)Đòi hỏi hoặc đầu vào zz là đại số hoặc giá trị eze^z là đại số; không thể liên hệ đồng thời z1=1z_1 = 1 (khi ez1=ee^{z_1} = e siêu việt) với z2=iπz_2 = i\pi (khi bản thân z2z_2 siêu việt)
Ước lượng không điểm cho hàm môđun Ramanujan / Eisenstein (phương pháp Nesterenko)Chứng minh π\pi, eπe^\pi và Γ(1/4)\Gamma(1/4) độc lập đại số trên Q\mathbb{Q}Giá trị của tham số môđun q=e2πiτq = e^{2\pi i \tau} tại các điểm nhân phức τ\tau sinh ra các số dạng e−πe^{-\pi} chứ không sinh ra e=e1e = e^1

Câu hỏi còn mở

  • Có phải cả e+πe + \pi lẫn eπe\pi đều là số vô tỉ (và siêu việt) hay không?
  • Hai hằng số ee và π\pi có độc lập đại số trên Q\mathbb{Q} hay không?

Tài liệu tham khảo

  1. Alan Baker (1975). Transcendental Number Theory · DOI:10.1017/CBO9780511565977
  2. Yuri V. Nesterenko (1996). Modular functions and transcendence questions · DOI:10.1070/SM1996v187n09ABEH000158
  3. Michel Waldschmidt (2000). Diophantine Approximations and Transcendental Numbers · DOI:10.1007/978-3-662-11569-5