Math Labs

Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, nêu năm 1644

Vô hạn số nguyên tố Mersenne

Còn mở

Có vô hạn số nguyên tố Mersenne, tức số nguyên tố có dạng Mp=2p−1M_p = 2^p - 1 với pp cũng là số nguyên tố.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, tính vô hạn của số nguyên tố Mersenne vẫn còn để ngỏ. Chỉ mới biết 52 số, tìm được bằng cách thử mọi số mũ tới khoảng 136 triệu bằng phép thử Lucas–Lehmer qua GIMPS. Heuristic Lenstra–Pomerance–Wagstaff, coi mỗi MpM_p là số nguyên tố với xác suất 'kỳ vọng' eγln⁡2⋅1p\frac{e^\gamma}{\ln 2}\cdot\frac{1}{p} với pp nguyên tố, dự đoán khoảng eγln⁡2ln⁡X\frac{e^\gamma}{\ln 2}\ln X số nguyên tố Mersenne với số mũ tới XX — một tổng phân kỳ, tức vô hạn — và khớp tốt với danh sách đã biết, nhưng đây chỉ là mô hình xác suất, không phải chứng minh.

Kết quả tốt nhất đã biết

  • 52 số nguyên tố Mersenne đã biết tính đến 2024, lớn nhất là 2136279841−12^{136279841}-1 với 41.024.32041.024.320 chữ số (Luke Durant / GIMPS, 2024).
  • Heuristic Lenstra–Pomerance–Wagstaff dự đoán có vô hạn số nguyên tố Mersenne và khớp tốt với số lượng quan sát được, nhưng vẫn chưa được chứng minh.

Công cụ và chỗ dừng

Công cụĐạt đượcChỗ dừng
Phép thử nguyên tố Lucas–LehmerCho một phép thử nhanh, tất định để biết một MpM_p cụ thể có phải số nguyên tố hay không, giúp GIMPS kiểm tra mọi số mũ tới biên tìm kiếm hiện tại.Chỉ từng kiểm tra hữu hạn ứng viên mỗi lần một; nó không cho cách nào để chứng minh việc tìm kiếm sẽ không bao giờ cạn.
Heuristic Lenstra–Pomerance–WagstaffDự đoán số lượng và khoảng cách kỳ vọng của các số nguyên tố Mersenne tới một chặn, khớp tốt với dữ liệu lịch sử.Đây là mô hình xác suất giả định tính độc lập chưa được biện minh chặt chẽ, nên không thể giải quyết câu hỏi về tính vô hạn.

Câu hỏi còn mở

  • Có chứng minh nào, dù chỉ có điều kiện theo một giả thuyết chuẩn, cho việc có vô hạn số nguyên tố Mersenne hay không?
  • Có tồn tại số hoàn hảo lẻ hay không, và nếu không, liệu có thể chứng minh điều đó mà không cần giải quyết trước câu hỏi về số nguyên tố Mersenne?

Tài liệu tham khảo

  1. Chris K. Caldwell (2024). Mersenne Primes: History, Theorems and Lists
  2. Samuel S. Wagstaff Jr. (1983). Divisors of Mersenne numbers · DOI:10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X
  3. Great Internet Mersenne Prime Search (2024). GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2^136279841-1