Bài toán Basel

Đã giải, 1735Giải tích

Phát biểu

Giá trị chính xác của tổng nghịch đảo các bình phương số tự nhiên dương, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots$ , là bao nhiêu? Chuỗi này đã biết là hội tụ, nhưng giá trị đóng chính xác của nó thì không ai tìm ra suốt gần một thế kỷ.

Euler công bố kết quả lần đầu năm 1735 bằng một phép loại suy táo bạo giữa tích vô hạn của $\sin x$ và cách phân tích đa thức theo nghiệm của nó — bước này khi đó ông chưa chứng minh chặt chẽ được. Chứng minh hoàn toàn chặt chẽ chỉ xuất hiện nhiều thập kỷ sau, khi định lý phân tích thừa số của Weierstrass (1876) biện minh cho việc biểu diễn hàm nguyên dưới dạng tích vô hạn.

Người giải, 1735Leonhard Euler

Tài liệu tham khảo

Frits Beukers, Eugenio Calabi, Jan A. C. Kolk (1993). Sums of generalized harmonic series and volumes · DOI:10.1007/s12045-015-0241-0
William Dunham (1999). Euler: The Master of Us All
Martin Aigner, Günter M. Ziegler (2018). Proofs from THE BOOK

Lịch sử bài toán

1650Pietro Mengoli đặt ra bài toán tính tổng nghịch đảo các bình phương trong tác phẩm Novae Quadraturae Arithmeticae, cùng với tổng nghịch đảo các số tam giác (bài toán ông giải được).
1689Jakob Bernoulli, trong Tractatus de Seriebus Infinitis, chứng minh chuỗi hội tụ (bằng cách chặn nó bởi một chuỗi kính viễn vọng) nhưng không tìm ra giá trị chính xác; ông kêu gọi cộng đồng toán học giúp đỡ, và bài toán được đặt tên theo quê hương Basel của ông.
1735Leonhard Euler công bố $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2 = \pi^2/6$ , bằng cách so sánh chuỗi Taylor của $\sin x / x$ với cách phân tích của nó theo các nghiệm $\pm n\pi$ .Leonhard Euler
1741Euler công bố một chứng minh đầy đủ và mở rộng phương pháp để tính $\zeta(2n)$ ở dạng đóng cho mọi số nguyên dương $n$ .Leonhard Euler
1993Frits Beukers, Eugenio Calabi và Jan Kolk đưa ra một chứng minh sơ cấp chỉ dùng phép đổi biến trong một tích phân kép trên hình vuông đơn vị, không cần đến lập luận tích vô hạn.