Gấp đôi khối lập phương

Cho cạnh có độ dài $a$ của một khối lập phương, chỉ dùng compa lý tưởng và thước thẳng không chia vạch, hãy dựng trong hữu hạn bước độ dài cạnh $x = \sqrt[3]{2}\,a$ của khối lập phương thứ hai có thể tích $x^3 = 2a^3$ gấp đôi thể tích khối lập phương đã cho.

Được Pierre Laurent Wantzel chứng minh là bất khả thi vào năm 1837. Chọn $a = 1$, việc gấp đôi khối lập phương đòi hỏi dựng được số thực $x = \sqrt[3]{2}$, nghiệm của đa thức $x^3 - 2 = 0$. Theo tiêu chuẩn Eisenstein cho số nguyên tố $p = 2$ (hoặc kiểm tra nghiệm hữu tỷ), đa thức $x^3 - 2$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}$, nên mở rộng trường $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]$ có bậc bằng $3$. Wantzel chứng minh rằng mọi độ dài dựng được bằng thước thẳng không chia vạch và compa đều nằm trong một mở rộng bậc hai lặp của $\mathbb{Q}$ có bậc $2^k$; vì $2^k$ không chia hết cho $3$ nên $\sqrt[3]{2}$ không dựng được.