Bài toán einstein (viên gạch đơn không tuần hoàn)

Có tồn tại một hình đĩa tô pô đóng liên thông duy nhất $T \subset \mathbb{R}^2$ (gọi là một "einstein", từ tiếng Đức ein Stein nghĩa là "một viên đá") sao cho các bản sao bằng nhau của $T$ có thể lát kín toàn bộ mặt phẳng Euclid $\mathbb{R}^2$ mà không chồng lấn hay để hở, nhưng mọi cách lát như vậy đều không tuần hoàn (không bất biến dưới bất kỳ phép tịnh tiến khác không nào) hay không?

Được giải năm 2023 bởi David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan và Chaim Goodman-Strauss. Tháng 3 năm 2023, họ công bố viên gạch "cái mũ" (hat), một đa giác 13 cạnh ghép từ tám hình diều của lưới Laves $[3.4.6.4]$, và chứng minh thông qua các siêu gạch thay thế phân cấp cùng phép duyệt trường hợp có máy tính hỗ trợ rằng nó chỉ có thể lát mặt phẳng $\mathbb{R}^2$ một cách không tuần hoàn (sử dụng cả bản gốc lẫn bản lật đối xứng). Hai tháng sau, vào tháng 5 năm 2023, bốn tác giả này giới thiệu viên gạch "Bóng ma" (Spectre), một hình 14 cạnh với các cạnh uốn cong hoặc khía răng cưa, là viên gạch đơn không tuần hoàn thuận nghịch chặt: ngay cả khi cho phép lật đối xứng, Spectre vẫn chỉ lát mặt phẳng bằng các phép tịnh tiến và quay thuần túy, và mọi cách lát đều không tuần hoàn.