未解決問題、幾何学, 代数学、1969年に提起

グロタンディークの標準予想

未解決

$X$ を体 $k$ 上の次元 $d$ の滑らかな射影多様体、 $H^*(X)$ をヴェイユコホモロジー理論とする。予想B（レフシェッツ型）は、逆レフシェッツ作用素が $X \times X$ 上の代数的対応によって誘導されることを主張する。予想Dは、代数的サイクルの数値的同値が $H^*$ に関するコホモロジー的同値と一致することを主張する。予想I（ホッジ型）は、原始代数的コホモロジー類上の交叉形式に対してホッジ–リーマン双線形関係が成り立つことを主張する。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、標準予想はすべて一般の滑らかな射影多様体に対して未解決のままである。進展は特別なクラスに限られている: アーベル多様体（リーバーマン、クレイマン 1968年）、グラスマン多様体とフラッグ多様体、滑らかな完全交叉、有理連結な3次元多様体と有理的な4次元多様体（アラプラ）、そして $K3^{[n]}$ 型の超ケーラー多様体（シャルル、マークマン 2013年）である。予想C（キュネート射影子の代数性）は有限体上でクリスタリン的手法（カッツ–メッシング）によりさらなる進展がある。

既知の最良の結果

レフシェッツ標準予想（B）は、アーベル多様体（リーバーマン、クレイマン 1968年）、グラスマン多様体と一般化されたフラッグ多様体、射影空間内の滑らかな完全交叉、 $K3^{[n]}$ 型の超ケーラー多様体（シャルル、マークマン 2013年）に対して証明されている。
ホッジ標準予想（I）は古典的なホッジ理論により標数0では定理であるが、予想Bが対応する場合を除き正標数ではほぼ未解決である。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
テータ因子とフーリエ–向井変換による明示的な代数的対応	アーベル多様体に対して逆レフシェッツ作用素を代数的に構成し、導来圏の手法により $K3^{[n]}$ 型超ケーラー多様体に対しても構成する	群構造や超ケーラーのモノドロミーといった特別な幾何構造に依存しており、一般の滑らかな射影多様体には存在しない
レフシェッツ束を用いた $\ell$ -進コホモロジーと結晶コホモロジー	完全な標準予想を必要とせずにヴェイユ予想（ドリーニュ 1974年）と有限体上の予想C（カッツ–メッシング）を証明した	関与するサイクルの代数性を確立するものではなく、そのコホモロジー的・数値的性質のみを扱うため、予想BとDには手が届かない

未解決の問い

レフシェッツ標準予想（B）は、正標数の体上のすべての滑らかな射影多様体に対して成り立つか。
数値的同値はすべての滑らかな射影多様体に対してコホモロジー的同値（予想D）と一致するか。少なくとも標準予想Bとホッジ予想またはタイト予想から予想的に従うか。

参考文献

Alexander Grothendieck (1969). Standard conjectures on algebraic cycles
David I. Lieberman (1968). Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds · DOI:10.2307/2373533
François Charles, Eyal Markman (2013). The Standard Conjectures for holomorphic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert schemes of K3 surfaces · DOI:10.1112/S0010437X12000607 · arXiv:1009.0413