Bài toán mở, Hình học, Đại số, nêu năm 1969

Các giả thuyết chuẩn của Grothendieck về chu trình đại số

Còn mở

Cho $X$ là một đa tạp xạ ảnh trơn chiều $d$ trên trường $k$ và $H^*(X)$ là một lý thuyết đối đồng điều Weil. Giả thuyết B (kiểu Lefschetz) khẳng định các toán tử Lefschetz nghịch đảo được cảm sinh bởi các tương ứng đại số trên $X \times X$ ; Giả thuyết D khẳng định quan hệ tương đương số của các chu trình đại số trùng với quan hệ tương đương đồng điều đối với $H^*$ ; Giả thuyết I (kiểu Hodge) khẳng định các quan hệ song tuyến tính Hodge–Riemann đúng trên dạng giao của các lớp đối đồng điều đại số nguyên thủy.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, mọi giả thuyết chuẩn vẫn còn mở cho đa tạp xạ ảnh trơn tổng quát. Tiến triển chỉ giới hạn ở các lớp đặc biệt: đa tạp abel (Lieberman, Kleiman 1968), lược đồ Grassmann và đa tạp cờ, giao đầy đủ trơn, đa tạp ba chiều đơn hữu tỷ và bốn chiều hữu tỷ hóa (Arapura), cùng đa tạp siêu Kähler kiểu $K3^{[n]}$ (Charles, Markman 2013). Giả thuyết C (tính đại số của các phép chiếu Künneth) còn có thêm tiến triển trên trường hữu hạn nhờ phương pháp tinh thể (Katz–Messing).

Kết quả tốt nhất đã biết

Giả thuyết chuẩn Lefschetz (B) được chứng minh cho đa tạp abel (Lieberman, Kleiman 1968), lược đồ Grassmann và đa tạp cờ tổng quát, giao đầy đủ trơn trong không gian xạ ảnh, cùng đa tạp siêu Kähler kiểu $K3^{[n]}$ (Charles, Markman 2013).
Giả thuyết chuẩn Hodge (I) là một định lý trong đặc số 0 nhờ lý thuyết Hodge cổ điển, nhưng phần lớn còn mở trong đặc số dương ngoài các trường hợp đã có Giả thuyết B.

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Tương ứng đại số tường minh qua ước theta và biến đổi Fourier–Mukai	Xây dựng toán tử Lefschetz nghịch đảo một cách đại số cho đa tạp abel, và qua các phương pháp phạm trù dẫn xuất, cho đa tạp siêu Kähler kiểu $K3^{[n]}$	Phụ thuộc vào cấu trúc hình học đặc thù (luật nhóm, đơn đạo siêu Kähler) vốn không có ở một đa tạp xạ ảnh trơn tổng quát
Đối đồng điều $\ell$ -adic và tinh thể cùng chùm Lefschetz	Chứng minh được giả thuyết Weil (Deligne 1974) và Giả thuyết C trên trường hữu hạn (Katz–Messing) mà không cần tới toàn bộ các giả thuyết chuẩn	Không thiết lập được tính đại số của các chu trình liên quan, chỉ nắm được các tính chất đối đồng điều/số học, nên Giả thuyết B và D vẫn chưa động tới

Câu hỏi còn mở

Giả thuyết chuẩn Lefschetz (B) có đúng cho mọi đa tạp xạ ảnh trơn trên trường đặc số dương hay không?
Tương đương số có trùng với tương đương đồng điều (Giả thuyết D) cho mọi đa tạp xạ ảnh trơn hay không, ít nhất theo phỏng đoán được suy ra từ Giả thuyết chuẩn B cùng giả thuyết Hodge hoặc Tate?

Tài liệu tham khảo

Alexander Grothendieck (1969). Standard conjectures on algebraic cycles
David I. Lieberman (1968). Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds · DOI:10.2307/2373533
François Charles, Eyal Markman (2013). The Standard Conjectures for holomorphic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert schemes of K3 surfaces · DOI:10.1112/S0010437X12000607 · arXiv:1009.0413