Bài toán mở, Tổ hợp và Toán rời rạc, Đại số, nêu năm 1893

Giả thuyết Hadamard

Còn mở

Với mọi số nguyên dương $k \ge 1$ , tồn tại một ma trận Hadamard cấp $n = 4k$ : một ma trận vuông $n \times n$ là $H \in \{-1, +1\}^{n \times n}$ với các phần tử thuộc $\{-1, +1\}$ có các hàng đôi một trực giao, thỏa mãn $H H^{\mathsf{T}} = n I_n$ .

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết Hadamard tổng quát vẫn còn mở: chưa có chứng minh nào cho thấy ma trận Hadamard tồn tại với mọi $n = 4k$ , và thậm chí chưa chứng minh được tập các bội của $4$ có ma trận Hadamard mang mật độ tự nhiên dương. Tuy nhiên, việc kết hợp ma trận Paley, các mảng khối vòng quanh Williamson và Goethals–Seidel, dãy cơ sở Turyn cùng các tìm kiếm khối có AI hỗ trợ năm 2026 đã tạo ra ma trận Hadamard tường minh cho mọi bội của $4$ cho tới $n = 2000$ . Về mặt tiệm cận, de Launey và Gordon (2001) đã chứng minh dưới Giả thuyết Riemann Mở rộng rằng số lượng $m \le x$ có ma trận Hadamard cấp $4m$ ít nhất là $\frac{x}{\log x} e^{(C + o(1))(\log\log\log x)^2}$ .

Kết quả tốt nhất đã biết

Các họ vô hạn ma trận Hadamard đã được chứng minh cho $n = 2^a 12^b 20^c \prod (q_i + 1) \prod 2(r_j + 1)$ trong đó $q_i \equiv 3 \pmod 4$ và $r_j \equiv 1 \pmod 4$ là các lũy thừa nguyên tố (Sylvester 1867; Paley 1933).
Ma trận Hadamard tường minh đã được xây dựng cho mọi bội số của $4$ cho tới $n = 2000$ (bao gồm cấp $428$ bởi Kharaghani–Tayfeh-Rezaie năm 2005 và cấp $668$ năm 2026).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Tập hiệu thặng dư bậc hai Paley trên trường hữu hạn $\mathbb{F}_q$	Sử dụng tính trực giao tổng đặc trưng của ma trận Jacobsthal trên $\mathbb{F}_q$ để dựng ma trận Hadamard cấp $q + 1$ ( $q \equiv 3 \pmod 4$ ) và $2(q + 1)$ ( $q \equiv 1 \pmod 4$ ).	Các lũy thừa nguyên tố có mật độ tiệm cận bằng không $\Theta(x / \log x)$ trong tập số nguyên, nên vẫn bỏ sót vô hạn các cấp hợp số $n = 4k$ ngay cả sau khi nhân tích Kronecker.
Mảng Goethals–Seidel, $T$ -dãy và phân rã khối vòng quanh	Đưa việc dựng ma trận Hadamard cấp $4m$ về bốn ma trận vòng quanh $\pm 1$ cỡ $m \times m$ là $A, B, C, D$ có tổng các dãy tự tương quan bằng không ( $AA^{\mathsf{T}} + BB^{\mathsf{T}} + CC^{\mathsf{T}} + DD^{\mathsf{T}} = 4m I_m$ ), qua đó giải quyết từng cấp đơn lẻ tới $2000$ .	Đòi hỏi một phép tìm kiếm tổ hợp hữu hạn riêng biệt cho từng độ dài $m$ , thay vì cung cấp một chứng minh đại số thống nhất cho mọi số nguyên $m \ge 1$ .

Câu hỏi còn mở

Tập hợp các số nguyên dương $k$ mà tồn tại ma trận Hadamard cấp $4k$ có mật độ tiệm cận dưới dương hay không?
Mọi bội số của $4$ có luôn tồn tại một ma trận Hadamard phản đối xứng $H = I_n + S$ với $S^{\mathsf{T}} = -S$ hay không?

Tài liệu tham khảo

Jacques Hadamard (1893). Résolution d'une question relative aux déterminants
Raymond E. A. C. Paley (1933). On orthogonal matrices · DOI:10.1002/sapm1933121311
Hadi Kharaghani, Behruz Tayfeh-Rezaie (2005). A Hadamard matrix of order 428 · DOI:10.1002/jcd.20043
Epoch AI (2026). Hadamard Matrix of Order 668 — FrontierMath: Open Problems