Lời giải: Chứng minh siêu việt Gelfond–Schneider bằng hàm phụ trợ (1934)

Trong bài diễn văn năm 1900 Mathematische Probleme, Hilbert đặt câu hỏi thứ bảy trong hai mươi ba bài toán: liệu $\alpha^\beta$ có buộc phải siêu việt khi $\alpha$ đại số với $\alpha\notin\{0,1\}$ và $\beta$ đại số vô tỷ; ở đây $\alpha^\beta$ nghĩa là một giá trị cố định của $e^{\beta\log\alpha}$ theo một nhánh logarit đã chọn, vì các nhánh khác nhau sai khác các lũy thừa của $e^{2\pi i\beta}$, mà chính định lý này chứng tỏ là siêu việt. Hilbert nêu $2^{\sqrt{2}}$ và $e^\pi=(-1)^{-i}$ làm các trường hợp thử và dự đoán bài toán sẽ tồn tại lâu hơn cả Giả thuyết Riemann.

Tiến triển bộ phận đến nhanh: Kuzmin (1930) xử lý $\beta$ bậc hai thực bằng cách tinh chỉnh phương pháp liên phân số của Gelfond năm 1929 — phương pháp đã chứng minh $e^\pi$ siêu việt. Trường hợp tổng quát được giải năm 1934 bởi Gelfond và, độc lập, Schneider; biến thể của Schneider sau đó được Siegel trình bày lại thành dạng dùng ở đây, khi ta làm việc với hai hàm nguyên thay vì hàm đơn lẻ dựng từ định thức của Gelfond. Nguồn ghi trong metadata của file là bài báo năm 1934 của Gelfond Sur le septième problème de Hilbert.

Lập luận là một phép chứng minh phản chứng định lượng, ngày nay là khuôn mẫu của toàn bộ lý thuyết siêu việt. Giả sử $\gamma=\alpha^\beta$ đại số và lập trường số $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma)$. Ta dựng một hàm nguyên khác không $\Phi$, cấu tạo từ $e^z$ và $e^{\beta z}$, triệt tiêu đến bậc cao $L$ tại các điểm $j\log\alpha$ nơi giá trị của nó thuộc $K$. Một đạo hàm khác không đầu tiên $\Phi^{(s)}(0)$ khi đó là phần tử khác không của $K$ mà giải tích phức (công thức Jensen) chặn trên bởi $e^{-cL\log L}$ còn số học đại số (công thức tích qua các liên hợp) chặn dưới bởi $e^{-CL}$; vì $L\log L$ vượt $CL$, hai chặn va vào nhau, buộc $\gamma$ phải siêu việt.