Math Labs

Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Xác suất và Thống kê, nêu năm 1909

Tính chuẩn tắc của số π

Còn mở

Số π\pi có phải là số chuẩn tắc trong cơ số 1010 (hoặc trong mọi cơ số nguyên b≥2b \ge 2) hay không — tức là trong khai triển cơ số bb của π\pi, mọi khối hữu hạn gồm kk chữ số đều xuất hiện với tần suất tiệm cận giới hạn bằng b−kb^{-k}?

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, tính chuẩn tắc của π\pi vẫn hoàn toàn mở trong mọi cơ số b≥2b \ge 2. Các phép tính π\pi vượt mốc 101410^{14} chữ số thập phân không phát hiện độ lệch có ý nghĩa thống kê nào so với tần suất đều 10−k10^{-k} cho các khối chữ số ngắn, và khuôn khổ Bailey–Crandall (2001) quy tính chuẩn tắc cơ số 22 của các hằng số kiểu BBP về tính phân bố đều của ánh xạ nhân đôi nhiễu xn=(2xn−1+rn) mod 1x_n = (2 x_{n-1} + r_n) \bmod 1. Dù Bailey và Crandall đã chứng minh được tính chuẩn tắc cho các hằng số kiểu Stoneham tường minh như α2,3=∑k=1∞13k23k\alpha_{2,3} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{3^k 2^{3^k}} nhờ mẫu số tăng thưa, đa thức mẫu số bậc nhất 8k+j8k+j trong chuỗi BBP của π\pi không có độ thưa cần thiết để chặn tổng mũ Weyl một cách vô điều kiện.

Kết quả tốt nhất đã biết

  • Borel (1909): tập các số thực không chuẩn tắc trong mọi cơ số nguyên b≥2b \ge 2 có độ đo Lebesgue bằng 00.
  • Bailey và Crandall (2001): π\pi chuẩn tắc trong cơ số 22 và cơ số 1616 nếu dãy xn=(16xn−1+120n2−89n+16512n4−1024n3+712n2−206n+21) mod 1x_n = (16 x_{n-1} + \frac{120n^2 - 89n + 16}{512n^4 - 1024n^3 + 712n^2 - 206n + 21}) \bmod 1 với x0=0x_0 = 0 phân bố đều trên [0,1)[0, 1).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụĐạt đượcChỗ dừng
Công thức trích xuất chữ số BBP và phân bố đều Weyl (Bailey–Crandall)Chuyển tính chuẩn tắc cơ số 1616 của π\pi thành bài toán phân bố đều của một dãy truy hồi 1 chiều tường minh và chứng minh tính chuẩn tắc cho lớp hằng số kiểu BBP thưaVới π\pi, số hạng nhiễu rn=O(n−2)r_n = O(n^{-2}) không thưa, nên lũy thừa lặp 16n−k16^{n-k} khuếch đại sai số trước khi có thể lấy trung bình tổng Weyl
Tính toán hàng chục nghìn tỉ chữ số và kiểm định ngẫu nhiên thống kêXác nhận phân bố đều thực nghiệm của các chữ số và khối ngắn trên hơn 101410^{14} chữ số thập phân và thập lục phân của π\piTính chuẩn tắc là tính chất tiệm cận khi N→∞N \to \infty; mọi đoạn đầu hữu hạn chữ số đều tương thích với cả tính chuẩn tắc lẫn việc vi phạm hoàn toàn tính chuẩn tắc

Câu hỏi còn mở

  • Mỗi chữ số 0,1,…,90, 1, \dots, 9 có xuất hiện vô hạn lần trong khai triển thập phân của π\pi hay không?
  • Giả thuyết phân bố đều Bailey–Crandall có đúng cho dãy truy hồi BBP gắn với π\pi hay không?

Tài liệu tham khảo

  1. Émile Borel (1909). Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques · DOI:10.1007/BF03019651
  2. David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe (1997). On the rapid computation of various polylogarithmic constants · DOI:10.1090/S0025-5718-97-00856-9
  3. David H. Bailey, Richard E. Crandall (2001). On the random character of fundamental constant expansions · DOI:10.1080/10586458.2001.10504441
  4. Yann Bugeaud (2012). Distribution Modulo One and Diophantine Approximation · DOI:10.1017/CBO9781139017732