Bài toán mở, Tô pô, nêu năm 1997

Giả thuyết thể tích (lý thuyết nút)

Còn mở

Với mọi nút $K \subset S^3$ , ký hiệu $J_N(K; q)$ là đa thức Jones $N$ -màu của nó được chuẩn hóa sao cho $J_N(\text{unknot}; q) = 1$ . Khi đó $\lim_{N \to \infty} \frac{2\pi}{N} \log \left| J_N\!\left(K; e^{2\pi i / N}\right) \right| = \operatorname{Vol}(S^3 \setminus K) = v_3 \|S^3 \setminus K\|$ , trong đó $v_3 \approx 1.0149416$ là thể tích của tứ diện hyperbolic lý tưởng đều và $\|S^3 \setminus K\|$ là thể tích đơn hình Gromov của phần bù nút (bằng đúng thể tích hyperbolic khi $K$ là nút hyperbolic).

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết thể tích Kashaev–Murakami–Murakami vẫn còn mở trong trường hợp tổng quát, mặc dù đã được chứng minh cho một số họ nút và liên kết tường minh. Các chứng minh chặt chẽ đã có cho nút số tám $4_1$ , các nút xuyến, các nút hyperbolic có tối đa $7$ giao điểm (Ohtsuki, 2016–2018), các nút nhân đôi Whitehead của những nút xuyến không tầm thường (Zheng, 2007), vòng Borromean, cùng một số họ nút xoắn và liên kết bóng cơ bản. Đối với nút hyperbolic tổng quát, khó khăn lớn nhất nằm ở việc kiểm soát các tổng trạng thái dao động có nhiều biến phức để có thể áp dụng phương pháp điểm yên ngựa mà không bị các điểm tới hạn giả lấn át tích phân.

Kết quả tốt nhất đã biết

Được chứng minh chặt chẽ cho nút số tám $4_1$ , mọi nút xuyến, mọi nút hyperbolic có $\le 7$ giao điểm (Ohtsuki), các nút nhân đôi Whitehead của nút xuyến $(2,p)$ (Zheng) và các liên kết bóng cơ bản.
Giả thuyết thể tích Chen–Yang cho bất biến Turaev–Viro tại $q = e^{2\pi i/r}$ ( $r$ lẻ) đã được chứng minh cho các liên kết bóng cơ bản, liên kết bát diện và các phép lấp Dehn với hệ số đủ lớn (Belletti, Detcherry, Kalfagianni, Yang).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Công thức tổng Poisson và phương pháp điểm yên ngựa nhiều chiều (Yokota, Andersen–Hansen, Ohtsuki)	Thay tổng trạng thái của $J_N(K; e^{2\pi i/N})$ bằng các tích phân đường của hàm dilogarit lượng tử Faddeev có điểm tới hạn thỏa mãn hệ phương trình dán hyperbolic của Thurston, qua đó chứng minh giả thuyết và khai triển tiệm cận đầy đủ cho các nút có tới $7$ giao điểm	Với các sơ đồ có nhiều giao điểm hơn, việc biến dạng đường lấy tích phân để chỉ đi qua điểm yên ngựa hình học mà không cắt qua các cực hay điểm tới hạn có phần thực lớn hơn đòi hỏi phải phân tích bao lồi và ma trận Hesse cho từng trường hợp riêng lẻ
Đa thức $A$ lượng tử và giả thuyết AJ (Garoufalidis, Lê Tự Quốc Thắng)	Chứng minh dãy $J_N(K; q)$ có tính $q$ -holonomic và liên hệ toán tử truy hồi của nó trong giới hạn $q \to 1$ với đa tạp đặc trưng $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ cổ điển cùng đa thức $A$ của nút $K$	Xác định tập hợp các tốc độ tăng mũ tiềm năng thông qua điều chỉnh tử thể tích trên đa tạp đặc trưng, nhưng bản thân nó chưa chỉ ra được nhánh nào chiếm ưu thế tại $q = e^{2\pi i/N}$

Câu hỏi còn mở

Giả thuyết thể tích có đúng với mọi nút và liên kết hyperbolic trong $S^3$ hay không?
Đối với các nút vệ tinh có thể tích đơn hình Gromov dương thực sự, liệu $\frac{2\pi}{N}\log|J_N(K; e^{2\pi i/N})|$ có luôn hội tụ về $v_3 \|S^3 \setminus K\|$ hay không?

Tài liệu tham khảo

Rinat M. Kashaev (1997). The hyperbolic volume of knots from the quantum dilogarithm · DOI:10.1023/A:1007364912784 · arXiv:q-alg/9601025v1
Hitoshi Murakami, Jun Murakami (2001). The colored Jones polynomials and the simplicial volume of a knot · DOI:10.1007/BF02392716 · arXiv:math/9905075v2
Hitoshi Murakami, Yoshiyuki Yokota (2018). An Introduction to the Volume Conjecture · DOI:10.1007/978-981-13-1150-5