Đẳng thức tích liên hệ ƯCLN và BCNN

Bước 1. Viết phân tích thừa số nguyên tố của $a$ và $b$ trên mọi số nguyên tố $p$: $a=\prod_p p^{e_p}$ và $b=\prod_p p^{f_p}$, với $e_p,f_p\ge0$ và chỉ có hữu hạn số mũ khác không.

Bước 2. Một số nguyên dương $d=\prod_p p^{c_p}$ chia hết cả $a$ và $b$ khi và chỉ khi $c_p\le e_p$ và $c_p\le f_p$ với mọi $p$, nên ước lớn nhất chọn $c_p=\min(e_p,f_p)$: $\gcd(a,b)=\prod_p p^{\min(e_p,f_p)}$. Lập luận đối ngẫu cho bội chung chọn số mũ nhỏ nhất không nhỏ hơn cả hai, cho $\operatorname{lcm}(a,b)=\prod_p p^{\max(e_p,f_p)}$.

Bước 3. Với hai số thực bất kỳ, $\min(e_p,f_p)+\max(e_p,f_p)=e_p+f_p$. Nhân hai tích theo từng thừa số nguyên tố vì thế cho $\gcd(a,b)\cdot\operatorname{lcm}(a,b)=\prod_p p^{\min(e_p,f_p)+\max(e_p,f_p)}=\prod_p p^{e_p+f_p}=\left(\prod_p p^{e_p}\right)\left(\prod_p p^{f_p}\right)=ab$.