Phương trình trường Einstein từ tác dụng Hilbert và đồng nhất thức Bianchi

Bước 1 (tách biến phân của biểu thức dưới dấu tích phân hấp dẫn). Viết $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$. Theo quy tắc đạo hàm của tích, $$\delta\big((R-2\Lambda)\sqrt{-g}\big) = R_{\mu\nu}\,\sqrt{-g}\,\delta g^{\mu\nu} + g^{\mu\nu}(\delta R_{\mu\nu})\sqrt{-g} + (R-2\Lambda)\,\delta\sqrt{-g}.$$

**Bước 2 (công thức Jacobi cho $\delta\sqrt{-g}$ và đồng nhất thức Palatini).** Dùng đồng nhất thức Jacobi $\delta(\det g)=(\det g)\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}=-(\det g)\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$, ta được $\delta\sqrt{-g}=-\tfrac12\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$. Trong khi đó, đồng nhất thức Palatini biểu diễn biến phân Ricci dưới dạng một phân kỳ hiệp biến, $g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}=\nabla_\alpha\big(g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\alpha_{\mu\nu}-g^{\alpha\nu}\delta\Gamma^\mu_{\mu\nu}\big)$, có tích phân bằng 0 trên $M$ theo định lý Stokes với các biến phân $\delta g^{\mu\nu}$ triệt tiêu gần biên.

**Bước 3 (ghép lại $\delta S=0$).** Kết hợp Bước 1, Bước 2 và định nghĩa $T_{\mu\nu}\equiv-\dfrac{2}{\sqrt{-g}}\dfrac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta g^{\mu\nu}}$, $$\delta S = \int_M \left[\frac{c^4}{16\pi G}\left(R_{\mu\nu}-\tfrac12 Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}\right) - \frac12 T_{\mu\nu}\right]\delta g^{\mu\nu}\,\sqrt{-g}\,d^4x = 0.$$ Vì $\delta g^{\mu\nu}$ là biến phân tenxơ đối xứng tùy ý, biểu thức trong ngoặc phải triệt tiêu tại từng điểm, cho ta $R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$.

Bước 4 (đồng nhất thức Bianchi rút gọn và định luật bảo toàn). Đồng nhất thức Bianchi thứ hai $\nabla_\lambda R_{\rho\sigma\mu\nu}+\nabla_\rho R_{\sigma\lambda\mu\nu}+\nabla_\sigma R_{\lambda\rho\mu\nu}=0$, rút gọn hai lần với $g^{\lambda\mu}g^{\rho\nu}$, cho $\nabla^\mu R_{\mu\nu}-\tfrac12\nabla_\nu R=0$, tức là $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$ với $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\tfrac12 Rg_{\mu\nu}$. Vì $\nabla^\mu g_{\mu\nu}=0$ (tính tương thích mêtric), lấy $\nabla^\mu$ hai vế của $R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$ buộc $\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0$.