Định lý Gromov về các nhóm tăng trưởng đa thức

Một chiều là đại số cổ điển mang màu sắc hình học (Bass–Guivarc'h): nếu $N \trianglelefteq G$ là lũy linh có chỉ số hữu hạn với dãy tâm dưới có các hạng $r_1,\dots,r_c$, một lập luận đếm trên dạng chuẩn tắc của các phần tử cho thấy $b_S(n) \asymp n^d$ với $d = \sum_i i\cdot r_i$, một chặn đa thức — vậy các nhóm hầu lũy linh quả thực có tăng trưởng đa thức. Chiều ngược lại, do Gromov chứng minh, thực sự sâu sắc, và ở đây chỉ phác thảo chiến lược của nó: co giãn đồ thị Cayley theo tỉ lệ $1/n$ rồi lấy giới hạn (theo nghĩa Gromov–Hausdorff, dọc theo một dãy con và một siêu lọc) khi $n \to \infty$; tăng trưởng đa thức chính xác là điều kiện giữ cho các hình cầu được co giãn này không suy biến về một điểm hay bùng nổ không giới hạn, nên một không gian metric giới hạn — nón tiệm cận của $G$ — tồn tại và là một không gian trắc địa, compact địa phương, hữu hạn chiều mà trên đó $G$ vẫn tác động bắc cầu ở mức giới hạn. Lý thuyết cấu trúc các nhóm compact địa phương của Montgomery và Zippin sau đó buộc nhóm đẳng cự của không gian giới hạn này phải chứa một nhóm Lie, và một lập luận sâu hơn chặn bậc của tăng trưởng đa thức theo số chiều của nhóm Lie đó, cuối cùng xác định được một nhóm con lũy linh chỉ số hữu hạn nằm ngay trong $G$. Một chứng minh sau này của Kleiner (2010) dẫn lại đúng chiến lược co giãn-rồi-lấy-giới-hạn này thông qua tính hữu hạn chiều của không gian các hàm điều hòa tăng trưởng đa thức, tránh hoàn toàn bộ máy Montgomery–Zippin, nhưng ý tưởng chủ đạo — chuyển sang giới hạn, tách ra một nhóm Lie, rồi đọc ra tính lũy linh — vẫn giữ nguyên.