Tính giải được và nghiệm tổng quát

($\Rightarrow$) Nếu $(x,y)$ là nghiệm nguyên thì $d=\gcd(a,b)$ chia hết cả $ax$ và $by$, nên chia hết $ax+by=c$. Vậy $d \mid c$ là điều kiện cần.

($\Leftarrow$) Giả sử $d \mid c$, viết $c=de$. Theo đẳng thức Bézout tồn tại $u_0,v_0$ với $au_0+bv_0=d$. Nhân với $e$ cho $a(u_0e)+b(v_0e)=de=c$, nên $(x_0,y_0)=(u_0e,\,v_0e)$ là một nghiệm nguyên. Điều này chứng minh tính giải được.

Bây giờ cố định một nghiệm $(x_0,y_0)$ và cho $(x,y)$ là một nghiệm khác bất kỳ. Trừ $ax_0+by_0=c$ khỏi $ax+by=c$ cho $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$, tức $a(x-x_0)=-b(y-y_0)$. Chia cả hai vế cho $d$: $\frac{a}{d}(x-x_0)=-\frac{b}{d}(y-y_0)$, và vì $\gcd(a/d,\,b/d)=1$, thừa số $\frac{b}{d}$ phải chia hết $x-x_0$ (một hệ quả chuẩn của tính nguyên tố cùng nhau: nếu $p\mid mn$ và $\gcd(p,m)=1$ thì $p\mid n$). Vậy $x-x_0=\frac{b}{d}t$ với $t$ nguyên nào đó, và thay lại cho $y-y_0=-\frac{a}{d}t$.

Ngược lại, với mọi số nguyên $t$, thay $x=x_0+\frac{b}{d}t,\ y=y_0-\frac{a}{d}t$ vào $ax+by$ cho $ax_0+by_0+t\left(\frac{ab}{d}-\frac{ab}{d}\right)=c+0=c$, xác nhận mọi cặp như vậy đều là nghiệm. Vậy tập nghiệm chính xác là $x=x_0+\dfrac{b}{d}t,\ \ y=y_0-\dfrac{a}{d}t\ \ (t\in\mathbb{Z})$.