Tổng các hệ số nhị thức

Thay $a=1,\ b=1$ vào định lý nhị thức $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$: vế trái trở thành $(1+1)^n=2^n$, vế phải trở thành $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}1^k=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$, vì $1$ lũy thừa bất kỳ vẫn bằng $1$.

Cho hai vế bằng nhau, ta được đúng $2^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$.

Đẳng thức này còn có ý nghĩa tổ hợp trực tiếp: $\binom{n}{k}$ đếm các tập con gồm $k$ phần tử của một tập $n$ phần tử $S$, nên $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$ đếm mọi tập con của $S$ với kích thước bất kỳ, tức toàn bộ tập lũy thừa, có đúng $2^n$ phần tử vì mỗi phần tử trong $n$ phần tử độc lập thuộc hoặc không thuộc một tập con.