Quy tắc tổng đan dấu để chia hết cho 11

Bước 1. Chứng minh bằng quy nạp rằng $10^i \equiv (-1)^i \pmod{11}$ với mọi $i\ge0$. Cơ sở $i=0$: $10^0=1=(-1)^0$. Bước quy nạp: nếu $10^i\equiv(-1)^i\pmod{11}$, thì $10^{i+1}=10\cdot10^i\equiv(-1)\cdot(-1)^i=(-1)^{i+1}\pmod{11}$ (dùng $10 \equiv -1 \pmod{11}$). Vậy $10^i\equiv(-1)^i\pmod{11}$ với mọi $i$.

Bước 2. Thay vào khai triển theo hàng vị trí: $n=\sum_i d_i10^i \equiv \sum_i d_i(-1)^i \pmod{11}$, đúng bằng tổng đan dấu $\sum_i (-1)^i d_i$.

Bước 3. Kết luận: $11\mid n$ đúng khi $n\equiv0\pmod{11}$, mà theo Bước 2 điều này xảy ra đúng khi $11$ chia hết $\sum_i (-1)^i d_i$.