Định lý Bolzano–Weierstrass (chứng minh bằng chia đôi)

Cho $(x_n)$ bị chặn, tức tồn tại $a<b$ sao cho $x_n\in[a,b]$ với mọi $n$. Ta xây dựng một dãy đoạn lồng nhau bằng cách chia đôi liên tiếp. Chia $[a,b]$ thành hai nửa $[a,\tfrac{a+b}{2}]$ và $[\tfrac{a+b}{2},b]$. Vì dãy có vô hạn số hạng (tính theo chỉ số) mà chỉ có hai nửa, theo nguyên lý Dirichlet ít nhất một nửa phải chứa $x_n$ với vô hạn chỉ số $n$; gọi nửa đó là $[a_k,b_k]$ với $k=1$.

Lặp lại phép chia đôi trên $[a_1,b_1]$: chia nó thành hai, và lại theo nguyên lý Dirichlet ít nhất một nửa chứa $x_n$ với vô hạn $n$; gọi nó là $[a_2,b_2]$. Tiếp tục mãi tạo ra một dãy lồng nhau $[a,b]\supset[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\cdots$, mỗi đoạn chứa $x_n$ với vô hạn chỉ số, và mỗi đoạn có độ dài bằng nửa đoạn trước, nên độ dài của $[a_k,b_k]$ đúng bằng $(b-a)/2^{k}$, tiến về $0$ khi $k\to\infty$.

Bây giờ xây dựng dãy con: vì $[a_1,b_1]$ chứa vô hạn số hạng của dãy, chọn một chỉ số $n_1$ bất kỳ với $x_{n_1}\in[a_1,b_1]$. Vì $[a_2,b_2]$ cũng chứa vô hạn số hạng (chỉ trừ hữu hạn chỉ số vẫn còn dùng được), chọn $n_2>n_1$ với $x_{n_2}\in[a_2,b_2]$. Tiếp tục bằng quy nạp, ở bước $k$ chọn $n_k>n_{k-1}$ với $x_{n_k}\in[a_k,b_k]$; điều này luôn khả thi vì $[a_k,b_k]$ chứa vô hạn số hạng, nên vẫn còn vô hạn chỉ số vượt quá $n_{k-1}$.

Theo tính chất đoạn lồng nhau của số thực (mỗi $[a_k,b_k]$ đóng, lồng nhau, và độ dài co về $0$), giao của chúng là một điểm duy nhất: $\bigcap_{k=1}^{\infty} [a_k,b_k] = \{L\}$ với $L\in[a,b]$ nào đó. Vì cả $x_{n_k}$ lẫn $L$ đều thuộc $[a_k,b_k]$, có độ dài $(b-a)/2^{k}$, ta có $|x_{n_k}-L|\le (b-a)/2^{k}\to 0$. Khi $k\to\infty$, vế phải tiến về $0$, buộc $x_{n_k}\to L$. Vậy $(x_{n_k})$ là một dãy con hội tụ của $(x_n)$, như cần chứng minh.