Bài 1

Cho

x_1,x_2,\ldots,x_n

là các số thực dương và

S=x_1+x_2+\cdots+x_n

. Chứng minh

(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+\cdots+\dfrac{S^n}{n!}

Bước 1 trên 4: Đặt các tổng đối xứng sơ cấp

Bước trước Bước tiếp

e_k=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}x_{i_1}\cdots x_{i_k},\qquad\prod_{i=1}^n(1+x_i)=\sum_{k=0}^n e_k

Phân tích chi tiết

Gọi $e_k$ là tổng các tích của $k$ biến đôi một khác nhau, với $e_0=1$ . Chọn $1$ hoặc $x_i$ từ mỗi thừa số cho khai triển $\prod(1+x_i)=e_0+e_1+\cdots+e_n$ .