Math Labs

Bài 5

Tìm tất cả các hàm f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R sao cho (1) ff tăng nghiêm ngặt, và (2) f(x)+g(x)=2xf(x)+g(x)=2x với mọi xx thực, trong đó gg là hàm ngược theo phép hợp của ff.
Bước 1 trên 5: Áp dụng phương trình cho một phép lặp của f
Bước trướcBước tiếp
fn+2(x)+fn(x)=2fn+1(x)f_{n+2}(x)+f_n(x)=2f_{n+1}(x)
Phân tích chi tiết

Gọi fnf_n là phép lặp thứ nn, với f0(x)=xf_0(x)=x. Thay x=fn+1(x)x=f_{n+1}(x) vào f(x)+g(x)=2xf(x)+g(x)=2x. Vì g(fn+1(x))=fn(x)g(f_{n+1}(x))=f_n(x), ta được fn+2(x)+fn(x)=2fn+1(x)f_{n+2}(x)+f_n(x)=2f_{n+1}(x).