MathLabs

Bài 1

Trong tam giác ABCABC, gọi D,E,FD,E,F lần lượt là trung điểm của BC,CA,ABBC,CA,AB, còn GG là trọng tâm. Với mỗi giá trị của ∠BAC\angle BAC, có bao nhiêu tam giác đôi một không đồng dạng sao cho AEGFAEGF là một tứ giác nội tiếp?
Bước 2 trên 5: Đưa điều kiện nội tiếp về một hệ thức trung tuyến
Bước trướcBước tiếp
AEGF cyclic⟺AI⋅IG=FI⋅IE⟺AD2=3CD2AEGF\text{ cyclic}\Longleftrightarrow AI\cdot IG=FI\cdot IE\Longleftrightarrow AD^2=3CD^2
Phân tích chi tiết

Theo định lý hai dây cắt nhau tại II, tứ giác AEGFAEGF nội tiếp khi và chỉ khi AI⋅IG=FI⋅IEAI\cdot IG=FI\cdot IE. Thay các tỉ số trên vào, ta được hệ thức tương đương AD2=3CD2AD^2=3CD^2, đúng với dạng dùng trong lời giải chính thức.