MathLabs

Bài 1

Trong tam giác ABCABC, gọi D,E,FD,E,F lần lượt là trung điểm của BC,CA,ABBC,CA,AB, còn GG là trọng tâm. Với mỗi giá trị của ∠BAC\angle BAC, có bao nhiêu tam giác đôi một không đồng dạng sao cho AEGFAEGF là một tứ giác nội tiếp?
Bước 4 trên 5: Loại các góc lớn hơn 60 độ
Bước trướcBước tiếp
ABAC+ACAB≥2⇒cos⁡A≥12⇒A≤60∘\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}\ge2\Rightarrow\cos A\ge\frac12\Rightarrow A\le60^\circ
Phân tích chi tiết

Theo AM–GM, tổng của một tỉ số dương và nghịch đảo của nó ít nhất bằng 22. Vì vậy điều kiện trên đòi hỏi cos⁡A≥1/2\cos A\ge1/2; do đó không có tam giác nào khi A>60∘A>60^\circ.