Bài 3

Cho a_1,a_2,...,a_n và b_1,b_2,...,b_n là các số thực dương với a_1+...+a_n=b_1+...+b_n. Chứng minh rằng

\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{a_i+b_i} \ge \frac{a_1+\cdots+a_n}{2}

Bước 1 trên 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

\left(\sum_{i=1}^n\frac{a_i^2}{a_i+b_i}\right)\left(\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)\right)\ge\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2.

Phân tích chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức ở dạng Engel cho các mẫu dương a_i+b_i. Tính dương của chúng bảo đảm mọi phép chia đều hợp lệ.