Bài 3

Cho

n>3

là một số nguyên. Chọn ba số từ

\{1,2,\ldots,n\}

. Dùng mỗi số đúng một lần cùng với phép cộng, phép nhân và dấu ngoặc, lập tất cả các biểu thức có thể. (a) Chứng minh rằng nếu cả ba số được chọn đều lớn hơn

n/2

thì các giá trị thu được đôi một khác nhau. (b) Cho

p

là số nguyên tố với

p\le \sqrt{n}

. Chứng minh rằng số cách chọn mà số nhỏ nhất bằng

p

và các giá trị biểu thức không đôi một khác nhau đúng bằng số ước dương của

p-1

Bước 1 trên 7: Đặt tên ba số được chọn và liệt kê các biểu thức

Bước trước Bước tiếp

1<x<y<z,\qquad x+y+z,\ x+yz,\ xy+z,\ y+zx,\ (x+y)z,\ (z+x)y,\ (y+z)x,\ xyz

Phân tích chi tiết

Trong cả hai phần, số nhỏ nhất được chọn ít nhất bằng $2$ : ở (a) vì $n/2>1$ , ở (b) vì $p$ là số nguyên tố. Viết ba số được chọn là $1<x<y<z$ . Bỏ qua tính giao hoán, tám giá trị có thể chính là các biểu thức đã liệt kê ở trên.