Math Labs

Bài 4

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (h,s)(h,s) có tính chất sau: nếu vẽ hh đường thẳng nằm ngang và thêm ss đường thẳng thỏa mãn (i) không nằm ngang, (ii) không có hai đường nào song song, và (iii) không có ba đường nào trong tổng số h+sh+s đường đồng quy, thì số miền tạo thành là 19921992.
Bước 1 trên 5: Đếm miền khi chỉ có các đường không nằm ngang
Bước trướcBước tiếp
a0,0=1,a0,s=a0,s−1+sa_{0,0}=1,\qquad a_{0,s}=a_{0,s-1}+s
Phân tích chi tiết

Khi thêm một đường không nằm ngang vào s−1s-1 đường, đường mới cắt chúng tại s−1s-1 điểm phân biệt và bị chia thành ss đoạn, mỗi đoạn tạo thêm một miền. Từ a0,0=1a_{0,0}=1 suy ra a0,s=1+1+⋯+s=s2+s+22a_{0,s}=1+1+\cdots+s=\frac{s^2+s+2}{2}.