MathLabs

Bài 3

Cho f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 và g(x)=cn+1xn+1+cnxn+⋯+c0g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0 là các đa thức khác không với hệ số thực, thỏa mãn g(x)=(x+r)f(x)g(x)=(x+r)f(x) với một số thực rr. Nếu a=max⁡(∣an∣,…,∣a0∣)a=\max(|a_n|,\ldots,|a_0|) và c=max⁡(∣cn+1∣,…,∣c0∣)c=\max(|c_{n+1}|,\ldots,|c_0|), hãy chứng minh rằng ac≤n+1\frac{a}{c}\le n+1.
Bước 1 trên 5: Khai triển tích và ghi các hệ thức truy hồi hệ số
Bước trướcBước tiếp
cn+1=an,ck=ak−1+rak (1≤k≤n),c0=ra0c_{n+1}=a_n,\qquad c_k=a_{k-1}+ra_k\ (1\le k\le n),\qquad c_0=ra_0
Phân tích chi tiết

So sánh các hệ số trong g(x)=(x+r)f(x)g(x)=(x+r)f(x) được cn+1=anc_{n+1}=a_n, ck=ak−1+rakc_k=a_{k-1}+ra_k với 1≤k≤n1\le k\le n, và c0=ra0c_0=ra_0. Theo định nghĩa, mọi hệ số của gg có giá trị tuyệt đối không vượt quá cc.