Bài 4

Tìm tất cả các số nguyên dương

n

sao cho phương trình

x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0

có nghiệm nguyên.

Bước 6 trên 6: Suy ra mâu thuẫn về số mũ của 2

Bước trước Bước tiếp

v_2(y^n)\ge n>1\quad\text{but}\quad v_2(-2T)=1\Longrightarrow\text{contradiction}

Phân tích chi tiết

Vì $T$ lẻ, vế phải $-2T$ có đúng một thừa số $2$ . Nhưng $y$ chẵn nên $y^n$ có ít nhất $n>1$ thừa số $2$ . Mâu thuẫn này loại mọi $n>1$ lẻ. Kết hợp các trường hợp trước, đáp án duy nhất là $n=1$ .