第5题

设

P_1,P_2,\ldots,P_{1993}=P_0

是

xy

平面上坐标为整数的互异点。假设对每个

i=0,1,\ldots,1992

，在线段

P_iP_{i+1}

上除

P_i

和

P_{i+1}

外没有坐标均为整数的点。证明存在某个

i

，

0\le i\le1992

，使线段

P_iP_{i+1}

上有一点

Q=(q_x,q_y)

，且

2q_x

和

2q_y

都是奇整数。

第 3/3 步：取中点

Q=\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right),\qquad 2q_x=a+c,\quad2q_y=b+d

详细分析

由于两点属于同一奇偶类， $a+c$ 与 $b+d$ 具有相同奇偶性。若二者均为偶数，则 $Q$ 是线段内部的整数格点，违反假设。因此二者均为奇数。中点在线段上，且 $2q_x=a+c$ 、 $2q_y=b+d$ 都是奇整数。