Math Labs

Bài 2

Cho m,nm,n là các số nguyên dương với n≤mn\le m. Chứng minh 2nn!≤(m+n)!(m−n)!≤(m2+m)n2^n n!\le\dfrac{(m+n)!}{(m-n)!}\le(m^2+m)^n.
Bước 1 trên 4: Khai triển thương giai thừa
Bước trướcBước tiếp
(m+n)!(m−n)!=∏i=1n(m+i)(m−i+1)\frac{(m+n)!}{(m-n)!}=\prod_{i=1}^n(m+i)(m-i+1)
Phân tích chi tiết

Các thừa số từ m−n+1m-n+1 đến m+nm+n được ghép đối xứng quanh mm. Vì vậy (m+n)!(m−n)!=∏i=1n(m+i)(m−i+1)\frac{(m+n)!}{(m-n)!}=\prod_{i=1}^n(m+i)(m-i+1).