Bài 1

Tính tổng

S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1 - 3x_i + 3x_i^2}

với

x_i = \frac{i}{101}

Bước 1 trên 4: Xác định quan hệ bù nhau giữa các số hạng

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Các điểm $x_i$ chia đoạn $[0, 1]$ thành $101$ phần bằng nhau, nên phép đối xứng qua trung điểm $\frac{1}{2}$ sẽ ghép cặp $x_i$ với $1 - x_i = x_{101-i}$ .

x_{101-i} = \frac{101-i}{101} = 1 - \frac{i}{101} = 1 - x_i

Phân tích chi tiết

Với mỗi chỉ số $i \in \{0, 1, \ldots, 101\}$ , chỉ số đối xứng $101 - i$ cũng thuộc $\{0, 1, \ldots, 101\}$ , và các điểm chia tương ứng thỏa mãn $x_{101-i} = \frac{101-i}{101} = 1 - x_i$ .