Bài 4

Cho

n, k

là các số nguyên dương thỏa mãn

n > k

. Chứng minh rằng

\frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}}

Bước 1 trên 4: Nhân với

k^k (n-k)^{n-k}

để cô lập số hạng nhị thức

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Đưa $k^k (n-k)^{n-k}$ sang đứng cạnh $\binom{n}{k}$ làm lộ diện ngay một số hạng trong khai triển nhị thức của $((n-k) + k)^n = n^n$ .

\frac{n^n}{n+1} < \binom{n}{k} k^k (n-k)^{n-k} < n^n

Phân tích chi tiết

Vì $k \ge 1$ và $n - k \ge 1$ , đại lượng $k^k (n-k)^{n-k}$ nhận giá trị dương. Nhân bất đẳng thức kép đã cho với $k^k (n-k)^{n-k}$ và viết $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ cho thấy bất đẳng thức tương đương với $\frac{n^n}{n+1} < \binom{n}{k} k^k (n-k)^{n-k} < n^n$ .