Math Labs

Bài 2

Cho ABCDABCD là hình vuông cạnh aa. Trên mặt phẳng có hai đường thẳng song song ℓ1\ell_1 và ℓ2\ell_2 cách nhau aa đơn vị. Đặt hình vuông sao cho ABAB và ADAD cắt ℓ1\ell_1 lần lượt tại EE và FF, còn CBCB và CDCD cắt ℓ2\ell_2 lần lượt tại GG và HH. Nếu chu vi của △AEF\triangle AEF và △CGH\triangle CGH là m1m_1 và m2m_2, chứng minh rằng m1+m2m_1+m_2 không đổi, bất kể vị trí đặt hình.
Bước 1 trên 4: Xác định tâm bàng tiếp chung
O=EH∩FGO=EH\cap FG
Phân tích chi tiết

Đặt O=EH∩FGO=EH\cap FG. Khoảng cách từ GG tới các đường FDFD và EFEF đều bằng aa, nên FGFG là phân giác góc thích hợp tại FF; tương tự EHEH là phân giác tại EE. Vì vậy OO là tâm bàng tiếp của △AEF\triangle AEF. Lập luận tương tự tại G,HG,H cho thấy nó cũng là tâm bàng tiếp của △CGH\triangle CGH.