MathLabs

Bài 1

Tìm tất cả các tập hữu hạn khác rỗng SS gồm các số nguyên dương thỏa mãn i+jgcd⁡(i,j)∈S\frac{i+j}{\gcd(i,j)}\in S với mọi i,j∈Si,j\in S.
Bước 2 trên 4: Loại các phần tử lẻ
Bước trướcBước tiếp
k odd and maximal  ⟹  k+2gcd⁡(k,2)=k+2>kk\text{ odd and maximal}\implies\frac{k+2}{\gcd(k,2)}=k+2>k
Phân tích chi tiết

Giả sử có phần tử lẻ và gọi kk là phần tử lẻ lớn nhất của SS. Vì 2∈S2\in S và gcd⁡(k,2)=1\gcd(k,2)=1, điều kiện đóng cho (k+2)/gcd⁡(k,2)=k+2∈S(k+2)/\gcd(k,2)=k+2\in S, mâu thuẫn với tính lớn nhất. Vậy mọi phần tử của SS đều chẵn.