Bài 1

Tìm tất cả các tập hữu hạn khác rỗng

S

gồm các số nguyên dương thỏa mãn

\frac{i+j}{\gcd(i,j)}\in S

với mọi

i,j\in S

Bước 3 trên 4: Loại phần tử thứ hai lớn hơn 2

Bước trước Bước tiếp

\ell>2\text{ second-smallest}\implies\frac{\ell+2}{\gcd(\ell,2)}=\frac{\ell}{2}+1<\ell

Phân tích chi tiết

Nếu có phần tử khác $2$ , gọi $\ell>2$ là phần tử nhỏ thứ hai. Nó chẵn, nên đóng với $i=\ell,j=2$ cho $(\ell+2)/\gcd(\ell,2)=\ell/2+1$ . Với $\ell>2$ , giá trị này nằm nghiêm ngặt giữa $2$ và $\ell$ , mâu thuẫn với cách chọn $\ell$ .