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亚太数学奥林匹克
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2007年
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第5题
第5题
一个规则的
5
×
5
5\times5
5
×
5
灯阵有故障：拨动一盏灯的开关会改变它本身以及同一行、同一列中与它相邻的每盏灯的状态。初始时所有灯都熄灭。经过若干次拨动后恰有一盏灯亮着。求这盏灯的所有可能位置。
第 5/6 步：实现中心位置
上一步
下一步
T
3
,
3
=
{
(
1
,
2
)
,
(
1
,
3
)
,
(
1
,
5
)
,
(
2
,
1
)
,
(
2
,
5
)
,
(
3
,
1
)
,
(
3
,
3
)
,
(
3
,
4
)
,
(
4
,
3
)
,
(
5
,
1
)
,
(
5
,
2
)
}
T_{3,3}=\{(1,2),(1,3),(1,5),(2,1),(2,5),(3,1),(3,3),(3,4),(4,3),(5,1),(5,2)\}
T
3
,
3
=
{(
1
,
2
)
,
(
1
,
3
)
,
(
1
,
5
)
,
(
2
,
1
)
,
(
2
,
5
)
,
(
3
,
1
)
,
(
3
,
3
)
,
(
3
,
4
)
,
(
4
,
3
)
,
(
5
,
1
)
,
(
5
,
2
)}
详细分析
拨动
T
3
,
3
T_{3,3}
T
3
,
3
中的格。按模 2 检查五格局部十字规则，恰只剩中心格
(
3
,
3
)
(3,3)
(
3
,
3
)
亮。因此第五个共同零位置也可实现。
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