Math Labs

Bài 1

Cho tam giác ABCABC có ∠A<60∘\angle A<60^\circ. Gọi XX và YY lần lượt là các điểm trên các cạnh ABAB và ACAC sao cho CA+AX=CB+BXCA+AX=CB+BX và BA+AY=BC+CYBA+AY=BC+CY. Gọi PP là điểm trong mặt phẳng sao cho các đường thẳng PXPX và PYPY lần lượt vuông góc với ABAB và ACAC. Chứng minh rằng ∠BPC<120∘\angle BPC<120^\circ.
Bước 1 trên 5: Xác định X và Y
Bước trướcBước tiếp
AD=AE=CA+AB−BC2,AX=AB+BC−CA2=BDAD=AE=\dfrac{CA+AB-BC}{2},\quad AX=\dfrac{AB+BC-CA}{2}=BD
Phân tích chi tiết

Gọi I là tâm nội tiếp, D,E là chân đường vuông góc từ I xuống AB,AC. Không mất tính tổng quát, giả sử AC là cạnh dài nhất, nên X nằm trên AD. Các đẳng thức độ dài đã cho cho AX=(AB+BC−CA)/2 và AY=(BC+CA−AB)/2. Vì AD=AE=(CA+AB−BC)/2 nên BD=AX và CE=AY.