Math Labs

Bài 4

Xét hàm f:N0→N0f:\mathbb N_0\to\mathbb N_0, trong đó N0\mathbb N_0 là tập các số nguyên không âm, được xác định bởi f(0)=0f(0)=0, f(2n)=2f(n)f(2n)=2f(n) và f(2n+1)=n+2f(n)f(2n+1)=n+2f(n) với mọi n≥0n\ge0. (a) Xác định ba tập L={n∣f(n)<f(n+1)}L=\{n\mid f(n)<f(n+1)\}, E={n∣f(n)=f(n+1)}E=\{n\mid f(n)=f(n+1)\} và G={n∣f(n)>f(n+1)}G=\{n\mid f(n)>f(n+1)\}. (b) Với mỗi k≥0k\ge0, tìm công thức theo kk của ak=max⁡{f(n):0≤n≤2k}a_k=\max\{f(n):0\le n\le2^k\}.
Bước 1 trên 6: Tìm L
Bước trướcBước tiếp
f(2k+1)−f(2k)=k(k>0)f(2k+1)-f(2k)=k\quad(k>0)
Phân tích chi tiết

Từ các quy tắc định nghĩa, f(2k+1)−f(2k)=k. Do đó mọi chỉ số chẵn dương thuộc L. Ngoài ra f(4k+1)=2k+4f(k)=f(4k+2), còn f(0)=f(1)=0, nên 0 và mọi số đồng dư 1 modulo 4 thuộc E.