Bài 1

Xét phép toán sau trên các số thực dương viết trên bảng: chọn một số

r

trên bảng, xóa số đó, rồi viết lên bảng một cặp số thực dương

a

và

b

thỏa mãn

2r^2=ab

. Ban đầu trên bảng chỉ có một số thực dương

r

, và ta thực hiện phép toán này

k^2-1

lần để thu được

k^2

số thực dương, không nhất thiết phân biệt. Chứng minh rằng có một số trên bảng không vượt quá

kr

Bước 1 trên 4: Ước lượng một phép thay thế

\frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}\ge\frac{2ab}{a^2b^2}=\frac1{r^2}

Phân tích chi tiết

Khi thay r bởi a,b với ab=2r^2, bất đẳng thức AM–GM cho 1/a^2+1/b^2=(a^2+b^2)/(a^2b^2)≥2ab/(a^2b^2)=1/r^2.