第2题

设实数

a_1,a_2,a_3,a_4,a_5

满足对

k=1,2,3,4,5

有

\frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2}

。求

\frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41}

的值（用一个分数表示）。

第 1/5 步：编码方程

R(x)=\sum_{j=1}^{5}\frac{a_j}{x^2+j},\quad R(\pm k)=\frac1{k^2}\ (1\le k\le5)

详细分析

定义 R(x)=a_1/(x^2+1)+⋯+a_5/(x^2+5)。因 R 只依赖 x^2，已知方程表明 k=1,…,5 时 R(±k)=1/k^2。